问题概述

有n个资产，其风险可用方差 ${\sigma }_i^2$ 衡量，收益率可用期望（历史均值） $R_i$ 衡量，n个资产价格的变动可能存在联动关系，用协方差 $co{v}_{i,j}$ 衡量，其中 $co{v}_{i,i}={\sigma }_i^2$ 。

现在同时投资这n个资产，以 $w_i$ 的权重分配第i个资产（$w_i\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$，负数代表做空），构建出一个投资组合(Portfolio)。于是可以求出这个组合的收益率和方差如下。

$$R_p=\sum _i{w}_i\ast R_i$$

$${\sigma }_p^2=\sum _i\sum _j{w}_i\ast w_j\ast co{v}_{i,j}$$

现在随机生成n组 $w_i$ ，可以得到n个 $(R_p,{\sigma }_p^2)$ ，以收益率和方差为横纵坐标轴，可以把生成的n个坐标点绘制成图，如下所示。

可以看出，散点看起来似乎有一个边界，这个边界即为“有效边界”（边界之外的组合无法用这n个资产构造出来）。现在我们需要把这个有效边界的函数解析式形式求出来，首先可以发现，有效边界实际上是在收益率确定为 $R$ 的情况下，方差最小的点组成的，于是，这个问题就可以写成如下优化问题形式，其中 $min$ 部分指所求最小方差， $s.t.$ 部分表示变量约束条件。设定多个 $R$ ，进行求解，即可得到多个 ${\sigma }_p^2$ ，生成一组 $(R_p,{\sigma }_p^2)$ 散点，这些散点即为有效边界上的点，如图。

$$\begin{array}{r}min{\sigma }_p^2=\sum _i\sum _j{w}_i{w}_j\ast co{v}_{i,j}\\ s.t.\{\begin{array}{l}\sum _i{w}_i=1\\ R_p=\sum _i{w}_i\ast R_i=R\end{array}\end{array}$$

拉格朗日乘数法

经过上述步骤，有效边界的求解已经写成了一个带约束的优化问题的形式，而拉格朗日乘数法正好可用来求解此类问题。拉格朗日乘数法将优化问题转变为了解方程组。例如以下问题：

$$\begin{array}{r}minf(x,y,z)\\ s.t.\{\begin{array}{l}g(x,y,z)=0\\ h(x,y,z)=0\\ l(x,y,z)=0\end{array}\end{array}$$

Lagrange乘数法的求解步骤是这样的：

首先，构造一个新的函数
$$F(x,y,z,{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)=f(x,y,z)+{\lambda }_1\ast g(x,y,z)+{\lambda }_2\ast h(x,y,z)+{\lambda }_3\ast l(x,y,z)$$

分别求这个函数对所有自变量的偏导，令其等于0，得到如下方程组。

$$\{\begin{array}{l}\frac{dF}{dx}=0\\ \frac{dF}{dy}=0\\ \frac{dF}{dz}=0\\ \frac{dF}{d{\lambda }_1}=0\\ \frac{dF}{d{\lambda }_2}=0\\ \frac{dF}{d{\lambda }_3}=0\end{array}$$

接着解出一组 $x,y,z$ ，代回 $f(x,y,z)$ 即为最优解。

3个资产举例

考虑本篇文章的循序渐进性，先用Lagrange乘数法对3个资产的有效边界进行求解，之后再求解n个的，这样或许好理解些。

首先写出3个资产的最优化问题形式，同第一部分所提到的，3个资产的情况如下。

$$\begin{array}{r}min{\sigma }_p^2=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{w}_i{w}_j\ast co{v}_{i,j}\\ s.t.\{\begin{array}{l}\sum _{i=1}^3{w}_i=1\\ R_p=\sum _{i=1}^3{w}_i\ast R_i=R\end{array}\end{array}$$

首先构造一个大函数，如下。
$$F(w_1,w_2,w_3,{\lambda }_1,{\lambda }_2)=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{w}_i{w}_j\ast co{v}_{i,j}+{\lambda }_1(\sum _{i=1}^3{w}_i-1)+{\lambda }_2(\sum _{i=1}^3{w}_i\ast R_i-R)$$

然后对每个自变量求偏导，并令其等于0，得到如下方程组。

$$\{\begin{array}{l}\frac{dF}{d{w}_1}=\sum _{j=1}^3{w}_1\ast co{v}_{1,j}+{\lambda }_1+{\lambda }_2\ast R_1=0\\ \frac{dF}{d{w}_2}=\sum _{j=1}^3{w}_2\ast co{v}_{2,j}+{\lambda }_1+{\lambda }_2\ast R_2=0\\ \frac{dF}{d{w}_3}=\sum _{j=1}^3{w}_3\ast co{v}_{3,j}+{\lambda }_1+{\lambda }_2\ast R_3=0\\ \frac{dF}{d{\lambda }_1}=\sum _{i=1}^3{w}_i-1=0\\ \frac{dF}{d{\lambda }_2}=\sum _{i=1}^3{w}_i\ast R_i-R=0\end{array}$$

可以看出，方程组是线性的，可将其写成矩阵形式，如下。

$$\left[\begin{array}{ccccc}co{v}_{1,1}& co{v}_{1,2}& co{v}_{1,3}& 1& R_1\\ co{v}_{2,1}& co{v}_{2,2}& co{v}_{2,3}& 1& R_2\\ co{v}_{3,1}& co{v}_{3,2}& co{v}_{3,3}& 1& R_3\\ 1& 1& 1& 0& 0\\ R_1& R_2& R_3& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\\ w_3\\ {\lambda }_1\\ {\lambda }_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ R\end{array}\right]$$

两边乘系数矩阵的逆，转变为如下形式。

$$\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\\ w_3\\ {\lambda }_1\\ {\lambda }_2\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccccc}co{v}_{1,1}& co{v}_{1,2}& co{v}_{1,3}& 1& R_1\\ co{v}_{2,1}& co{v}_{2,2}& co{v}_{2,3}& 1& R_2\\ co{v}_{3,1}& co{v}_{3,2}& co{v}_{3,3}& 1& R_3\\ 1& 1& 1& 0& 0\\ R_1& R_2& R_3& 0& 0\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ R\end{array}\right]$$

通过观察可以发现，方程右边的变量只有 $R$ ，且只出现在右下角，因此解出的 $w_i$ 与 $R$ 呈 $w_i=a+b\ast R$ 的形式，代入${\sigma }_p^2=\sum _i\sum _j{w}_i\ast w_j\ast co{v}_{i,j}$，可以发现，${\sigma }_p^2$ 与 $R$ 呈现二次函数关系，由此即可得出 ${\sigma }_p^2$ 与 $R$ 的解析式，即 ${\sigma }_p^2=a{R}^2+bR+c$。

推广至n个资产

n个资产的推导在前期与3个资产一致，最后得到的方程组矩阵形式结果如下。

$$\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ ⋮\\ w_n\\ {\lambda }_1\\ {\lambda }_2\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccccc}co{v}_{1,1}& \cdots & co{v}_{1,n}& 1& R_1\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ co{v}_{n,1}& \cdots & co{v}_{n,n}& 1& R_n\\ 1& \cdots & 1& 0& 0\\ R_1& \cdots & R_n& 0& 0\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ 1\\ R\end{array}\right]$$

同样可以由此看出 $w_i$ 与 $R$ 呈 $w_i=a+b\ast R$ 的形式，从而得到 ${\sigma }_p^2=a{R}^2+bR+c$ 的结果。

附：在存在无风险资产下的情况下，有效边界为直线的理解

对于这种情况，我们可以把风险组合看作一个整体。首先我们考虑只有一个风险资产的情况：

在风险资产的基础上增加无风险资产，方便说明举个例子：80%投资于风险资产，20%投资于无风险资产。新的资产组合点如下图所示。

我们放宽上面的例子，把80%换成 $w_i$ ，可以得到那个绿色坐标:

$$(w_i{\sigma }_i,(1-w_i)r_f+w_i{r}_i)$$

上面的坐标其实是个关于 $w_i$ 的参数方程，可以写成下面形式。

$$\{\begin{array}{l}x=w_i{\sigma }_i\\ y=(1-w_i)r_f+w_i{r}_i\end{array}$$

我们消去其中的 $w_i$ 就能把y与x的表达式求出来啦，如下。

$$y=r_f(1-\frac{x}{{\sigma }_i})+\frac{x{r}_i}{{\sigma }_i}$$

化简得到。

$$y=\frac{x(r_i-r_f)}{{\sigma }_i}+r_f$$

可以看到这就是一条直线，而且这条直线经过 $(0,r_f)$ 和 $({\sigma }_i,r_i)$ 两个点，也就是图中一开始的两个点。

所以对于任意的一个无风险资产，和一个风险资产，我们都可以认为，它们的有效资产组合所有可能的情况，绘制在图中就是一条射线（风险不能为负数，所以是射线）。

那么，现在我们把前面推导的N个风险资产组合有效边界的结论结合一下。

有N个风险资产组合，和一个无风险资产，如下图。

可以看到，这样可以组成无数条射线，但是总归还是有个边界，很容易可以想到，这个边界就是无风险资产所在的点，与抛物线的切线。如下图所示。

以上就是本人对在存在无风险资产下的情况下，有效边界为直线的理解啦！